The classical theory showed that a Raman line's intensity is set by $|\boldsymbol{e}_{\mathrm{s}}\!\cdot\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{e}_{\mathrm{i}}|^2$ — the Raman tensor $\boldsymbol{R}$ sandwiched between the incident and scattered polarizations. Rotate those polarizations and the intensity traces out a pattern fixed entirely by the crystal's symmetry. This page walks through that angle-resolved measurement: the tensor forms, the parallel/crossed configurations, and worked polar plots for graphene, nanoribbons, silicon, and RTe$_3$.古典論では、ラマン線の強度が $|\boldsymbol{e}_{\mathrm{s}}\!\cdot\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{e}_{\mathrm{i}}|^2$ — 入射偏光と散乱偏光でラマンテンソル $\boldsymbol{R}$ を挟んだ量 — で決まることを見た。この偏光を回すと、強度は結晶の対称性だけで決まるパターンを描く。本ページではその角度分解測定をたどる：テンソルの形、平行／直交配置、そして graphene・nanoribbon・silicon・RTe$_3$ の具体的な極座標プロットまで。
Sweep the polarization angle, read the symmetry. The sections below build up the Raman tensor, the two standard measurement geometries, and the resulting polar plots for four representative crystals.偏光角を掃引して対称性を読む。以下では、ラマンテンソル、2つの標準測定配置、そして代表的な4結晶の極座標プロットを順に組み立てる。
For a given mode the scattered intensity isあるモードの散乱強度は
$$I\propto\big|\boldsymbol{e}_{\mathrm{s}}\!\cdot\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{e}_{\mathrm{i}}\big|^2,$$
where $\boldsymbol{R}$ is the mode's Raman tensor. Sweeping the in-plane polarization angle $\theta$ traces a polar plot $I(\theta)$ in two standard configurations: parallel ($\boldsymbol{e}_{\mathrm{s}}\!\parallel\!\boldsymbol{e}_{\mathrm{i}}$, $I_\parallel$) and crossed ($\boldsymbol{e}_{\mathrm{s}}\!\perp\!\boldsymbol{e}_{\mathrm{i}}$, $I_\perp$). The shape is fixed by the symmetry-allowed form of $\boldsymbol{R}$. Three crystals — graphene, silicon, RTe$_3$ — illustrate the mode count, Raman-active modes, tensors, and angle dependence.ここで $\boldsymbol{R}$ はそのモードのラマンテンソルです。面内偏光角 $\theta$ を掃引すると、2つの標準配置で極座標プロット $I(\theta)$ が得られます：平行（$\boldsymbol{e}_{\mathrm{s}}\!\parallel\!\boldsymbol{e}_{\mathrm{i}}$、$I_\parallel$）と直交（$\boldsymbol{e}_{\mathrm{s}}\!\perp\!\boldsymbol{e}_{\mathrm{i}}$、$I_\perp$）。その形は $\boldsymbol{R}$ の対称性で許される形で決まります。graphene・silicon・RTe$_3$ の3結晶で、モード数・ラマン活性モード・テンソル・角度依存性を見ます。
Modes (2 atoms → $3N=6$ branches): $\Gamma = A_{2u}\oplus E_{1u}$ (acoustic) $\oplus\,B_{2g}\oplus E_{2g}$ (optical). The two $E$ irreps are doubly degenerate, so the branches count $\underbrace{1+2}_{\text{acoustic}}+\underbrace{1+2}_{\text{optical}}=6$. Raman-active: the in-plane $E_{2g}$ (the G band, a doubly-degenerate pair); $B_{2g}$ is silent.モード数（2原子 → $3N=6$ 枝）：$\Gamma = A_{2u}\oplus E_{1u}$（音響）$\oplus\,B_{2g}\oplus E_{2g}$（光学）。2つの $E$ 表現は2重縮退なので、枝の数は $\underbrace{1+2}_{\text{音響}}+\underbrace{1+2}_{\text{光学}}=6$。ラマン活性：面内 $E_{2g}$（G バンド、2重縮退ペア）。$B_{2g}$ はサイレント。
Raman tensors ($E_{2g}$ pair):ラマンテンソル（$E_{2g}$ ペア）：
| $d$ | ||
| $-d$ | ||
| $d$ | ||
| $d$ | ||
Angle dependence: summed over the degenerate pair the G band is isotropic — $I_\parallel,\,I_\perp$ are constant.角度依存性：縮退ペアの和をとると G バンドは等方的 — $I_\parallel,\,I_\perp$ は一定です。
$E_{2g}$ (G band) — isotropic, $I_\parallel=I_\perp$ (constant)（G バンド）— 等方的、$I_\parallel=I_\perp$（一定）
Symmetry: confining graphene into a ribbon breaks the in-plane isotropy — a defined long axis and edges lower the symmetry to a quasi-1D ($C_{2v}$) line group, so the modes become anisotropic. New features appear (a low-frequency breathing-like mode; the edge-activated D band).対称性：グラフェンをリボン状に閉じ込めると面内等方性が破れます — 明確な長軸とエッジにより対称性が準1次元（$C_{2v}$）のライン群へ下がり、モードは異方的になります（低周波の呼吸的モードやエッジ起因の D バンドが現れます）。
Angle dependence: two effects combine. (1) An antenna (depolarization) effect — like nanotubes, the quasi-1D geometry couples light best when the polarization is along the ribbon axis, so even the otherwise-isotropic G band becomes $I(\theta)\propto\cos^2(\theta-\theta_{\mathrm{axis}})$, peaking along the axis. (2) Each $C_{2v}$ mode's Raman tensor adds its own pattern. Measuring $I(\theta)$ thus pins down the ribbon orientation, and the D-band angle dependence probes the edge type (armchair/zigzag).角度依存性：2つの寄与が重なります。(1) アンテナ（脱分極）効果 — ナノチューブと同様、準1次元構造は偏光がリボン長軸に沿うとき光と最もよく結合するため、本来等方的な G バンドでも $I(\theta)\propto\cos^2(\theta-\theta_{\mathrm{axis}})$ となり長軸方向でピークになります。(2) $C_{2v}$ 各モードのラマンテンソルが固有のパターンを加えます。$I(\theta)$ の測定からリボンの向きが決まり、D バンドの角度依存はエッジの種類（アームチェア/ジグザグ）を反映します。
$E_{2g}$ (G band) — antenna effect: peaks along the ribbon axis, $I_\parallel\propto\cos^2\theta$（G バンド）— アンテナ効果：長軸方向でピーク、$I_\parallel\propto\cos^2\theta$
Modes (2 atoms → $3N=6$ branches): $\Gamma = F_{1u}$ (acoustic) $\oplus\,F_{2g}$ (optical). Each $F$ irrep is triply degenerate, so the branches count $\underbrace{3}_{\text{acoustic}}+\underbrace{3}_{\text{optical}}=6$. Raman-active: the triply-degenerate $F_{2g}$ (the 520 cm$^{-1}$ line) — the only first-order Raman mode.モード数（2原子 → $3N=6$ 枝）：$\Gamma = F_{1u}$（音響）$\oplus\,F_{2g}$（光学）。各 $F$ 表現は3重縮退なので、枝の数は $\underbrace{3}_{\text{音響}}+\underbrace{3}_{\text{光学}}=6$。ラマン活性：3重縮退の $F_{2g}$（520 cm$^{-1}$ 線）。1次ラマンで許される唯一のモード。
Raman tensors ($F_{2g}$ triplet):ラマンテンソル（$F_{2g}$ 三重項）：
| $d$ | ||
| $d$ |
| $d$ | ||
| $d$ |
| $d$ | ||
| $d$ | ||
Angle dependence: back-scattering from a (001) face ($\theta$ from [100]) — $I_\parallel\propto\sin^2 2\theta$, $I_\perp\propto\cos^2 2\theta$.角度依存性：(001)面からの後方散乱（$\theta$ は [100] から）— $I_\parallel\propto\sin^2 2\theta$、$I_\perp\propto\cos^2 2\theta$。
$F_{2g}$ — $I_\parallel$ $I_\perp$ (each normalized)（各々規格化）
Modes (8 atoms → $3N=24$ branches): $Cmcm$ is $C$-centred, so the conventional cell ($Z=4$, 16 atoms) halves to an 8-atom primitive cell. Every $D_{2h}$ irrep is 1-dimensional, so the 24 branches are simply $3$ acoustic $+\,21$ optical. Raman-active are the gerade species $A_g,\,B_{1g},\,B_{2g},\,B_{3g}$; of these RTe$_3$'s atomic sites realize only $A_g,\,B_{1g},\,B_{3g}$ — it has no $B_{2g}$ phonon (so $B_{2g}$ is absent here, not "forbidden": $B_{2g}$ is itself a Raman-active representation).モード数（8原子 → $3N=24$ 枝）：$Cmcm$ は $C$ 底心なので、慣用単位胞（$Z=4$、16原子）を半分にした8原子が単位胞です。$D_{2h}$ の既約表現はすべて1次元なので、24枝はそのまま音響 $3$ $+\,$光学 $21$ に分かれます。ラマン活性は偶（gerade）表現 $A_g,\,B_{1g},\,B_{2g},\,B_{3g}$ で、このうち RTe$_3$ の原子位置が実現するのは $A_g,\,B_{1g},\,B_{3g}$ のみ — $B_{2g}$ フォノンは存在しません（$B_{2g}$ 自体はラマン活性表現なので「禁止」ではなく、ここでは単に現れないということ）。
Raman tensors ($x\!\parallel\!a,\ y\!\parallel\!b,\ z\!\parallel\!c$):ラマンテンソル（$x\!\parallel\!a,\ y\!\parallel\!b,\ z\!\parallel\!c$）：
| $a$ | ||
| $b$ | ||
| $c$ |
| $d$ | ||
| $d$ | ||
| $f$ | ||
| $f$ |
Angle dependence: light in the $ac$-plane ($\theta$ from $a$) shows only $A_g$ — $I_\parallel\propto(a\cos^2\theta+c\sin^2\theta)^2$, $I_\perp\propto(a-c)^2\sin^2\theta\cos^2\theta$. It tracks the four-fold CDW distortion below $T_{\mathrm{CDW}}$.角度依存性：$ac$ 面内（$\theta$ は $a$ から）では $A_g$ のみ観測 — $I_\parallel\propto(a\cos^2\theta+c\sin^2\theta)^2$、$I_\perp\propto(a-c)^2\sin^2\theta\cos^2\theta$。$T_{\mathrm{CDW}}$ 以下の4回対称CDW歪みを追跡します。
$A_g$ — $I_\parallel$ $I_\perp$ (each normalized)（各々規格化）
A half-wave plate rotates the polarization. Type I sweeps the laser polarization while the analyzer angle is fixed; Type II rotates laser and signal together at a fixed parallel (or perpendicular) offset.半波長板が偏光を回転させます。タイプIはアナライザー角度を固定してレーザー偏光を掃引し、タイプIIはレーザーと信号を固定された平行（または垂直）オフセットで一緒に回転させます。
For any crystal structure, the Raman tensor forms are fully determined by the space group symmetry. The Bilbao Crystallographic Server (cryst.ehu.es) provides free, authoritative tools for this:任意の結晶構造に対して、ラマンテンソルの形は空間群の対称性によって完全に決まります。ビルバオ結晶学サーバー（cryst.ehu.es）が無料で信頼性の高いツールを提供しています：
